Parábola dados eje, vértice y un punto cualquiera.

Para acabar el ejercicio de selectividad que os he dado necesitamos saber algo sobre tangencias a las cónicas y eso se ve en 2º de Bachillerato. O aplicar tercera proporcional, o resolver un problema de tangencias a dos circunferencias y un punto exterior. Esto lo dejamos para mas adelante...

No importa; os doy un consejo y una pista:
El consejo es que (en dibujo técnico) cuando nos dan unos datos y nos piden otro lo mejor es imaginarnos el problema ya resuelto: la parábola con el eje, la tangente en el vértice, el foco F, la recta directriz y el punto P que os dan. Esto ayuda a ver lo que hay que hacer para conseguir hallar el foco.
Y la pista es que os fijéis en el rectángulo que se forma con los puntos A, M, B, F, y de la posición del punto H en este rectángulo.

Tratad de hacerlo con el consejo, la pista y la ayuda de la imagen.

Y si no podéis, aquí tenéis la solución:
Es muy sencillo de hacer, pero un poco lioso para explicar.

Bueno, primero vamos a hallar la tangente en el punto que nos dan. Sabéis que dicha tangente será la mediatriz entre F y M. Esta tangente corta a la tangente del vértice en un punto, llamémoslo H.

Ahora considerad el rectángulo que tiene como vértices los puntos F, A, M y B. El centro de este rectángulo es el punto H porque está en un eje de simetría del rectángulo y está en la tangente a P, que son los puntos que equidistan de F y de M (siendo FM una diagonal del rectángulo).

Este punto H, divide pues al lado AF en dos partes iguales (X y X; siendo 2X la altura de P sobre el eje). Uniendo P con H tenemos pues la tangente. Y haciendo la perpendicular a la tangente en el punto H, obtenéis el segmento FM al cortar al eje.

Entonces, volviendo al problema, tenéis el eje, el vértice y un punto cualquiera. Trazáis la tangente en el vértice (perpendicular al eje por el vértice). De esta tangente, cogéis el punto H (tened en cuenta que tiene la mitad de la altura de P sobre el eje). Unís P con H para hallar la tangente. Hacéis perpendicular en H a dicha tangente hasta que os corte al eje, y ya tenéis el foco.