Definición, elementos visibles y ocultos de las curvas cónicas: ejes, circunferencias focales, principales, diámetros conjugados, vértices, diagonales, directrices, etc.
Parábola
Es una curva cónica, abierta, plana y de una sola rama.
Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fijo denominado foco y de una recta denominada directriz.
Elementos de la parábola
- Además del foco F y la directriz, cuenta con un eje de simetría E, normal a la directriz y que contiene al foco.
- Se denomina vértice V, al punto de intersección de la curva con el eje, la tangente en V a la curva es paralela a la directriz. Por ser V un punto de la curva, equidista del foco y la directriz.
- Las circunferencias focal y principal tienen radio infinito por lo que se convierten en rectas, la circunferencia focal coincide con la directriz y la circunferencia principal coincide con la recta tangente en V a la parábola.
Se pueden mover los puntos F (foco) y P (punto de la parábola) para comprobar que se mantienen las relaciones aunque cambien los datos.
Hipérbola
Es la hipérbola una curva cónica, abierta, plana y de dos ramas definida como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, denominados focos, es constante, e igual a la magnitud del eje mayor.
Elementos:
- Como la elipse, tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí, uno de ellos denominado eje mayor o real (AB). El otro eje se denomina eje imaginario. (Para calcular los extremos del eje imaginario, tendremos en cuenta que la distancia entre un extremo del eje mayor y otro del eje imaginario es siempre la mitad de la distancia focal).
- Los vértices son los puntos de intersección de la curva con el eje mayor.
- Se denomina distancia focal a la distancia comprendida entre los dos focos (F -F'). Los focos están sobre el eje mayor.
- Se denominan radios vectores (r1 y r2) a los segmentos F' P y F P, siendo P un punto de la curva. Su diferencia es constante para cualquier punto de la curva e igual a la magnitud del eje mayor (r1 – r2 = Cte =2a).
- Como en la elipse, las circunferencias focales son aquellas que con centro en los focos, tienen de radio la magnitud del eje mayor y la circunferencia principal la que tiene su centro coincidente con el centro O de la hipérbola y la medida del eje mayor de diámetro.
- Se denominan asíntotas las rectas tangentes a la curva en el infinito, pasan por el centro O y cuando forman 45º con los ejes, la hipérbola se denomina equilátera. Son dos las asíntotas y tangentes cada una de ellas a las dos ramas simultáneamente. Se calculan uniendo el centro de la hipérbola con los puntos de intersección (x e y) de 2 rectas normales al eje mayor trazadas por los vértices, con una circunferencia de centro O y diámetro F-F’.
Moved los focos o el punto P para verificar el dinamismo de la figura.
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