Igualdad de figuras planas.

Secante a la Elipse por Afinidad

Tenemos dibujada-punteada la elipse pero en realidad no es necesario.

Lo que nos piden es definir el punto (o puntos) en el que corta la recta roja a la cónica.

Es necesario, por afinidad, hallar la recta verde afín a la dada para saber donde se produce el corte en la circunferencia. La elipse y la circunferencia son figuras afines al igual que las dos rectas, la roja y la verde.
Desde un punto cualquiera I trazamos rectas hasta los puntos C y J de la elipse y la circunferencia; el punto M donde corta a la recta roja tiene su afín en el punto N; el punto O1 es doble y uniéndole al N conseguimos la recta afín de la dada.
La recta afín corta a la circunferencia y la dada a la elipse, ahora tenemos que pasar los puntos de intersección en la circunferencia L a la elipse (a la recta secante de esta) punto Q.
En la imagen solo he realizado la mitad del ejercicio, los puntos de arriba, pero la recta roja corta a la elipse en 2 puntos. El procedimiento sería el mismo.

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Homotecia

Se trata de una transformación ISOMÓRFICA dado que la figura que obtenemos tras su aplicación tiene la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. 

La transformación puede ser: 

• Si los puntos A y A´están al mismo lado de O la homotecia es directa o positiva

• Si los puntos A y A´están a ambos lados de O la homotecia es inversa o negativa

• Si K=1 y el centro de Homotecia es propio, tenemos una identidad, donde A=A´.

• Si K=-1 la homotecia se transforma en una simetría central (o un giro de 180º)

Prueba a modificar, con el deslizador K, la razón de homotecia, así como la forma y la posición tanto de la figura plana original como la situación del centro de homotecia para comprender mejor este concepto.

Gracias, una vez mas, a Esther Alonso por su trabajo y el magnifico material que elabora.

Triángulo rectángulo_01

Nos piden que tracemos un triangulo rectángulo. Los datos que nos dan son la hipotenusa (JL) y un la suma de los dos catetos (KL).

Esta es la resolución del ejercicio.

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Sabemos que el ángulo que forman los dos catetos es el de 90º.

Si por uno de los extremos del segmento “suma de lados” trazamos un ángulo de 45º y por el otro trazamos un arco con la medida de la hipotenusa, ambos se cortan en el punto que define el vértice “J” extremo de la hipotenusa.

En realidad el arco y el ángulo se cortan en dos puntos que son las dos soluciones posibles.

Aquí está resuelto el ejercicio en Mongge.

Triángulo rectángulo_02

Nos piden que tracemos un triángulo rectángulo. Los datos que nos dan son la hipotenusa (MO) y un punto “N” situado en ella. Nos indican que la bisectriz del ángulo opuesto a la hipotenusa pasa por este punto.

Esta es la resolución del ejercicio.

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Sabemos que el ángulo opuesto a la hipotenusa (MO) es el de 90º por lo que tenemos dos opciones:

1- Trazar el arco capaz de 90º del segmento MO y el arco capaz de 45º del segmento NO.

2- Trazar los arcos capaces de 45º de los segmentos MN y de NO.

En ambos casos la intersección de los dos arcos nos dará el vértice del ángulo recto y la bisectriz del ángulo pasará por el punto N

He empleado el segundo caso para resolverlo.

Si movemos el punto “O” con el ratón a lo largo de la línea ampliando o reduciendo la medida de la hipotenusa comprobaremos que el resultado se mantiene.

He aquí el ejercicio para que lo disfrutéis.

Teorema de Simson.

Enunciado:

Si desde un punto situado en una circunferencia circunscrita a un triángulo, trazamos perpendiculares a cada uno de los lados de este, los tres puntos que obtenemos están en línea recta.

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Mover el punto de referencia P o los vértices del triángulo para comprobar la alineación de las intersecciones. La recta que pasa por estos tres puntos se llama Recta de Simson o Recta de Wallace-Simson.

Gracias a Paulo Porta.